函 数 一、复习要求 1、 函数的定义及通性; 2、函数性质的运用。
二、学习指导 1、函数的概念:
(1)映射:设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应,则称从A到B的对应为映射,记为f:A→B,f表示对应法则,b=f(a)。若A中不同元素的象也不同,则称映射为单射,若B中每一个元素都有原象与之对应,则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。
(2)函数定义:函数就是定义在非空数集A,B上的映射,此时称数集A为定义域,象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域,对应法则,值域构成了函数的三要素,从逻辑上讲,定义域,对应法则决定了值域,是两个最基本的因素。逆过来,值域也会限制定义域。
求函数定义域,通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。要熟记基本初等函数的定义域,通过四则运算构成的初等函数,其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域,不仅要考虑内函数的定义域,还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域,应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。
函数对应法则通常表现为表格,解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法,抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。
求函数值域是函数中常见问题,在初等数学范围内,直接法的途径有单调性,基本不等式及几何意义,间接法的途径为函数与方程的思想,表现为△法,反函数法等,在高等数学范围内,用导数法求某些函数最值(极值)更加方便。
在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题,它的一种典型处理方法就是建立函数解析式,借助于求函数值域的方法。
函数的奇偶性是定义域上的普遍性质,定义式是定义域上的恒等式。 利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。
(2)单调性:研究函数的单调性应结合函数单调区间,单调区间应是定义域的子集。
判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质(实质上是不等式性质);④复合函数单调性判断法则。
函数单调性是单调区间上普遍成立的性质,是单调区间上恒成立的不等式。
函数单调性是函数性质中最活跃的性质,它的运用主要体现在不等式方面,如比较大小,解抽象函数不等式等。
(3)周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段。
求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|。
(4)反函数:函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一,在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数,函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连,如定义域、值域互换,具有相同的单调性等,把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。
设函数f(x)定义域为A,值域为C,则 f-1[f(x)]=x,x∈A f[f-1(x)]=x,x∈C
1、 函数的图象 函数的图象既是函数性质的一个重要方面,又能直观地反映函数的性质,在解题过程中,充分发挥图象的工具作用。 图象作法:①描点法;②图象变换。应掌握常见的图象变换。
4、本单常见的初等函数;一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性,掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。
对于抽象函数,通常是抓住函数特性是定义域上恒等式,利用赋值法(变量代换法)解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路,及解题突破口。
应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意,找准数量关系,把握好模型是解应用题的关键。
5、主要思想方法:数形结合,分类讨论,函数方程,化归等。
的值。 分析: 利用数形对应的关系,可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函数,从而化g(x)问题为已知f(x)。 ∵ y=f-1(x+1) ∴ x+1=f(y) ∴ x=f(y)-1 ∴ y=f-1(x+1)的反函数为y=f(x)-1 即 g(x)=f(x)-1 ∴ g(11)=f(11)-1= 评注:函数与反函数的关系是互为逆运算的关系,当f(x)存在反函数时,若b=f(a),则a=f-1(b)。
例2、设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0,当-1<x≤1时,f(x)=2x-1,求当1<x≤3时,函数f(x)的解析式。 解题思路分析: 利用化归思想解题 ∵ f(x)+f(x+2)=0 ∴ f(x)=-f(x+2) ∵ 该式对一切x∈R成立 ∴ 以x-2代x得:f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x) 当1<x≤3时,-1<x-2≤1 ∴ f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 ∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5 ∴ f(x)=-2x+5(1<x≤3)
评注:在化归过程中,一方面要转化自变量到已知解析式的定义域,另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。
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