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[数学] 考编数学-导数与微分-求函数的极值

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发表于 2021-6-8 14:52:29 | 显示全部楼层 |阅读模式
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第二节 导数与微分

三、导数应用

三、求函数的极值

设函数 y=f(x)在 x0 及其附近有定义,如果对附近所有的点都有 f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0)),则 称 f(x0)是函数 y=f(x)的极大值(极小值)。可导函数的极值可根据研究函数的单调性求得,基本步骤是:
(1)确定函数的定义域。
(2)求导数 f′(x)。
(3)求方程 f′(x)=0 的所有实根,顺次将定义域划分成若干小区间并列表,根据函数在定义区间内增减性变化(导函数与零的关系)来判断极值。
①f′(x)<0,f′(x)>0&#8658;f(a)是 y=f(x)的极小值。
②f′(x)>0,f′(x)<0&#8658;f(a)是 y=f(x)的极大值。

典型例题:


四、求函数的最大值与最小值

(1)如果区间内只有一个极(大/小)值,则这个极值就是最(大/小)值。
(2)闭区间上,所有极值与端点函数值比较,得到的是最值。


典型例题:


五、微分()微分定义

设函数 y=f(x),如果增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可以表示为 Δy=AΔx+o(Δx),那么称函数y=f(x)在点 x0是可微的,而 AΔx 叫作函数 y=f(x)在点 x0 相应于自变量 Δx 的微分,记作 dy, dy=AΔx=f′(x0)dx。

微分记法:dy|x=x0=df(x0)。
微分与导数关系:dy=df(x)=y′dx=f′(x)dx。

答案:






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