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2010年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 集合 ，则 =
(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3}
（2）在等比数列 中， ，公比 .若 ，则m=
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A） （B） （C） （D）
（5）极坐标方程（ -1）（ ）=0（ 0）表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
（6）若 , 是非零向量，“ ⊥ ”是“函数 为一次函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y= 的图像上
存在区域D上的点，则a 的取值范围是
（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]
(8)如图，正方体ABCD- 的棱长为2，动点E、F在棱 上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1， E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积
（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关
（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关
（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关
（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 。
（10）在△ABC中，若b = 1，c = ， ，则a = 。
（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。
（12）如图， 的弦ED，CB的延长线交于点A。若BD AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。
（13）已知双曲线 的离心率为2，焦点与椭圆 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿 轴滚动。
设顶点P（ ，y）的轨迹方程是 ，则 的最小正周期为 ； 在其两个相邻零点间的图像与 轴
所围区域的面积为 。
说明：“正方形PABC沿 轴滚动”包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动。沿 轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在 轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿 轴负方向滚动。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数 。
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的最大值和最小值。
（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB= ，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
(17)(本小题共13分)
某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 ， ( ＞ )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
P
b
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求 ， 的值；
(Ⅲ)求数学期望 ξ。
(18)(本小题共13分)
已知函数
(Ⅰ)当 =2时，求曲线 = ( )在点(1， )处的切线方程；
(Ⅱ)求 ( )的单调区间。
（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于 .
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（20）（本小题共13分）
已知集合 对于 ， ，定义A与B的差为
A与B之间的距离为
（Ⅰ）证明： ，且 ;
（Ⅱ）证明： 三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ) 设P ，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为 .
证明： ≤ .
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
2010年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A
（5）C （6）B （7）A （8）D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（-1,1） （10）1
（11）0.030 3 （12）5
（13）（ ，0） （14）4
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I）
（II）
=
= ,
因为 ，
所以，当 时， 取最大值6；当 时， 取最小值
（16）（共14分）
证明：（I） 设AC与BD交与点G。
因为EF//AG，且EF=1，AG= AC=1.
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF//平面EG，
因为 平面BDE，AF 平面BDE，
所以AF//平面BDE.
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面
相互垂直，且CE AC，
所以CE 平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C- .
则C（0，0，0），A（ ， ，0），B（0， ，0）.
所以 ， ， .
所以 ,
所以 , .
所以 BDE.
(III) 由（II）知， 是平面BDE的一个法向量.
设平面ABE的法向量 ,则 ， .
即
所以 且
令 则 .
所以 .
从而 。
因为二面角 为锐角，
所以二面角 的大小为 .
（17）（共13分）
解：事件 表示“该生第 门课程取得优秀成绩”， =1,2,3，由题意知
， ，
（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ ”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
，
（II）由题意知
整理得 ，
由 ，可得 ， .
（III）由题意知
=
=
=
（18）（共13分）
解：（I）当 时， ，
由于 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为
即
（II） ， .
当 时， .
所以，在区间 上， ；在区间 上， .
故 得单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
当 时，由 ，得 ，
所以，在区间 和 上， ；在区间 上，
故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
当 时，
故 得单调递增区间是 .
当 时， ，得 ， .
所以没在区间 和 上， ；在区间 上，
故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
（19）（共14分）
（I）解：因为点B与A 关于原点 对称，所以点 得坐标为 .
设点 的坐标为
由题意得
化简得 .
故动点 的轨迹方程为
（II）解法一：设点 的坐标为 ，点 ， 得坐标分别为 , .
则直线 的方程为 ，直线 的方程为
令 得 ， .
于是 得面积
又直线 的方程为 ， ，
点 到直线 的距离 .
于是 的面积
当 时，得
又 ，
所以 = ，解得 。
因为 ，所以
故存在点 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 .
解法二：若存在点 使得 与 的面积相等，设点 的坐标为
则 .
因为 ,
所以
所以
即 ，解得
因为 ，所以
故存在点 S使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 .
（20）（共13分）
证明：（I）设 ， ，
因为 ， ，所以 ,
从而
又
由题意知 ， ， .
当 时， ;
当 时，
所以
(II)设 ， ，
， ， .
记 ，由（I）可知
所以 中1的个数为 ， 的1的
个数为 。
设 是使 成立的 的个数，则
由此可知， 三个数不可能都是奇数，
即 , , 三个数中至少有一个是偶数。
（III） ,其中 表示 中所有两个元素间距离的总和，
设 种所有元素的第 个位置的数字中共有 个1， 个0
则 =
由于
所以
从而 |
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发表于 2011-11-15 20:46:23
