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绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 ，相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对于实数 ，“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若集合 ， ，则
A． B． C． D．
3． 展开式中 项的系数为
A． B． C． D．
4．若 满足 ，则
A． B． C．2 D．4
5．不等式 的解集是
A． B． C． D．
6．函数 的值域为
A． B． C． D．
7．等比数列 中， 则
A． B． C． D．
8．若函数 的图像关于直线 对称，则 为
A． B． C． D．任意实数
9．有 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 ，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为
A． B． C． D．
10．直线 与圆 相交于M、N两点，若|MN|≥ ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
11．如图，M是正方体 的棱 的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线 、 都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线 、 都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线 、 都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线 、 都平行.
其中真命题是：
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
12．如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 ，
， 的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是
A B
C D
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2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上
13．已知向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则 在 上的投影是 ；
14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）；
15．点 在双曲线 的右支上，若点 到右焦点的距离等 于 ，则 ；
16．长方体 的顶点均在同一个球面上， ， ，则 ， 两点间的球面距离为 .
三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
设函数 .
（1）若 的两个极值点为 ，且 ，求实数 的值；
（2）是否存在实数 ，使得 是 上的单调函数？若存在,求出 的值；若不存在，说明理由.
18．（本小题满分12分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.
(1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；
(2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.
19．（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
20．（本小题满分12分）
如图， 与 都是边长为2的正三角形，平面 平面 ， 平面 ，
.
（1）求直线 与平面 所成的角的大小；
（2）求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
21．（本小题满分12分）
已知抛物线 ： 经过椭圆 ： 的两个焦点.
(1) 求椭圆 的离心率；
(2) 设 ，又 为 与 不在 轴上的两个交点，若 的重心在抛物线 上，求 和 的方程.
22．（本小题满分14分）
正实数数列 中, ,且 成等差数列.
(1) 证明数列 中有无穷多项为无理数；
(2)当 为何值时， 为整数，并求出使 的所有整数项的和.
绝密★启用前 秘密★启用后
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D B A C A B D B C C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．1 14．90 15．2 16．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（本小题满分12分）
解：
（1）由已知有 ，从而 ，所以 ；
（2）由 ，
所以不存在实数 ，使得 是 上的单调函数.
18．（本小题满分12分）
解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则 .
(2) 设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则 .
19．（本小题满分12分）
解：（1）
由 得 ，
，
所以 .
（2）由（1）得
由 得 ，所以
从而 .
20．（本小题满分12分）
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.
又平面 平面 ,则MO⊥平面 ，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.
OB=MO= ，MO∥AB，则 ， ，所以 ，故 .
（2）CE是平面 与平面 的交线.
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为 .
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
，
，
所以，所求二面角的正弦值是 .
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面 平面 ,则MO⊥平面 .
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM= ，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0， ），B（0，- ，0），A（0，- ，2 ），
（1）设直线AM与平面BCD所成的角为 .
因 （0， ， ），平面 的法向量为 .则有 ，所以 .
（2） ， .
设平面ACM的法向量为 ，由 得 .解得 ， ，取 .又平面BCD的法向量为 ，则
设所求二面角为 ，则 .
21. （本小题满分12分）
解：（1）因为抛物线 经过椭圆 的两个焦点 ，
所以 ，即 ，由 得椭圆 的离心率 .
（2）由（1）可知 ，椭圆 的方程为：
联立抛物线 的方程 得： ，
解得： 或 （舍去），所以 ，
即 ，所以 的重心坐标为 .
因为重心在 上，所以 ，得 .所以 .
所以抛物线 的方程为： ，
椭圆 的方程为： .
22．（本小题满分14分）
证明：（1）由已知有： ，从而 ，
方法一：取 ，则 （ ）
用反证法证明这些 都是无理数.
假设 为有理数，则 必为正整数，且 ，
故 . ,与 矛盾，
所以 （ ）都是无理数，即数列 中有无穷多项为无理数;
方法二：因为 ，当 的末位数字是 时， 的末位数字是 和 ，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时 不是有理数，因这种 有无穷多，故这种无理项 也有无穷多．
(2) 要使 为整数，由 可知：
同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有 或
当 时，有 （ ）
又 必为偶数，所以 （ ）满足
即 （ ）时， 为整数；
同理 有 （ ）
也满足 ，即 （ ）时， 为整数；
显然 和 （ ）是数列中的不同项；
所以当 （ ）和 （ ）时， 为整数；
由 （ ）有 ，
由 （ ）有 .
设 中满足 的所有整数项的和为 ，则 |
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发表于 2011-11-15 21:08:27
