2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）

高放

2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．        答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．        每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。
3．        本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么                •如果事件A、B相互独立，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B)                             P(AB)=P(A)P(B)
•棱柱的体积公式V=Sh,                        棱锥的体积公式V= ,
其中S标示棱柱的底面积。                      其中S标示棱锥的底面积。
h表示棱柱的高。                               h示棱锥的高。

一．        选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
   （1）i 是虚数单位，复数
(A)1＋i   (B)5＋5i  (C)-5-5i   (D)-1－i
   （2）函数f(x)= 的零点所在的一个区间是
       (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是
(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数
（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
（4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写
(A)i＜3?    （B）i＜4?
（C）i＜5?    （D）i＜6?                          
                                                
                                             
(5)已知双曲线 的一条渐近线方程是y= ,它的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为
（A）                   （B）     
（C）                 （D）

（6）已知 是首项为1的等比数列， 是 的前n项和，且 ，则数列 的前5项和为
（A） 或5    （B） 或5   （C）         （D）
（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若 ， ，则A=
（A）     （B）       （C）      （D）
（8）若函数f(x)= ,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1）              （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）   
（C）（-1，0）∪（1,+∞）                （D）（-∞，-1）∪（0,1）
(9)设集合A= 若A B,则实数a,b必满足
（A）            （B）  
（C）            （D）
(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
（A）288种  （B）264种  （C）240种  （D）168种

2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．        答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．        用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
3．        本卷共12小题，共100分。
二．        填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案天灾题中横线上。
（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为          和      。



（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为           


（13）已知圆C的圆心是直线 与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为         

（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则 的值为     。

（15）如图，在 中， , ,
,则         .
（16）设函数 ，对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是        .
三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若 ，求 的值。






（18）.（本小题满分12分）
某射手每次射击击中目标的概率是 ，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；


（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记 为射手射击3次后的总的分数，求 的分布列。








（19）（本小题满分12分）
如图，在长方体 中， 、 分别是棱 ,
上的点， ,
（1）        求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）        证明  平面  
（3）        求二面角 的正弦值。








（20）（本小题满分12分）
已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（1）        求椭圆的方程；
（2）        设直线 与椭圆相交于不同的两点 ，已知点 的坐标为（ ），点 在线段 的垂直平分线上，且 ，求 的值







（21）（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时，
（Ⅲ）如果 ，且 ，证明







（22）（本小题满分14分）
在数列 中， ，且对任意 . ， ， 成等差数列，其公差为 。
（Ⅰ）若 = ，证明 ， ， 成等比数列（ ）
（Ⅱ）若对任意 ， ， ， 成等比数列，其公比为 。











2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、        选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
   （1）A     （2）B  （3）B   （4）D  （5）B
   （6）C     （7）A   （8）C    （9）D   （10）B
二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分24分。
（11）24:23         （12）       （13）   

（14）    （15）          (16)
三、解答题
（17）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（1）解：由 ，得

所以函数 的最小正周期为
因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又
，所以函数 在区间 上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）解：由（1）可知
又因为 ，所以
由 ，得
从而
所以

18.本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。
（1）解：设 为射手在5次射击中击中目标的次数，则 ~ .在5次射击中，恰有2次击中目标的概率

（Ⅱ）解：设“第 次射击击中目标”为事件 ；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件 ,则
   
        =  
       =
（Ⅲ）解：由题意可知， 的所有可能取值为
      

              =

  
  
所以 的分布列是

（19）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。
方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，
点A为坐标原点，设 ,依题意得 ,
, ,
（1）        解：易得 ,
于是
  所以异面直线 与 所成角的余弦值为
（2）        证明：已知 , ,
于是 • =0， • =0.因此， , ,又
所以 平面
(3)解：设平面 的法向量 ，则 ,即
不妨令X=1,可得 。由（2）可知， 为平面 的一个法向量。
于是 ，从而
所以二面角 的正弦值为
方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=
链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由 ,可知EF∥BC1.故 是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM= ,所以  ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为
（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为 ，所以 ，从而 ，又由于 ,所以 ，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且 ，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.
连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为 ，所以AF⊥平面A1ED
(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF 平面ACF, A1N 平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故 为二面角A1-ED-F的平面角
易知 ，所以 ，又 所以 ，在  
连接A1C1,A1F 在
。所以
所以二面角A1-DE-F正弦值为
（20）本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分
（1）解：由 ，得 ，再由 ，得
由题意可知，  
解方程组  得 a=2,b=1
所以椭圆的方程为
(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去Y并整理，得
由 得

设线段AB是中点为M，则M的坐标为
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是

（2）当K 时，线段AB的垂直平分线方程为
令x=0，解得
由


整理得
综上
（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分
（Ⅰ）解：f’
令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
X        ( )
1        ( )

f’(x)        +        0        -
f(x)         
极大值         

所以f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而 ’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)= F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知， > ,则 = ，所以 > ,从而 > .因为 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以 > ,即 >2.
(22)本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。
（Ⅰ）证明：由题设，可得 。
所以
=
=2k(k+1)
由 =0，得
于是 。
所以 成等比数列。
（Ⅱ）证法一：（i）证明：由 成等差数列，及 成等比数列，得
当 ≠1时，可知 ≠1，k  
从而
所以 是等差数列，公差为1。
（Ⅱ）证明： ， ，可得 ，从而  =1.由（Ⅰ）有

所以
因此，
以下分两种情况进行讨论：
（1）        当n为偶数时，设n=2m( )
若m=1,则 .
若m≥2，则
+

所以
(2)当n为奇数时，设n=2m+1（ ）


所以 从而 •••
综合（1）（2）可知，对任意 , ,有
证法二：（i）证明：由题设，可得
所以

由 可知 。可得 ，
所以 是等差数列，公差为1。
（ii）证明：因为 所以 。
所以 ，从而 ， 。于是，由（i）可知所以 是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得 =  ，故 。
从而 。
所以 ，由 ，可得
。
于是，由（i）可知
以下同证法一。