小学数学课程的性质、地位及基本理念

英伦Harsh

一、教学课程的地位和住质

　　 谈及数学课程的地位和性质，就必须认识数学这门学科的本质。然而，对任何事物下定义都很难概括事物的一切重要属性。给数学下定义也是如此，因为在顾及全面性的同时难以预料发展性。恩格斯说：“数学是关于空间形式和数量关系的科学。”这一经典定义，即使在目前也概括了数学的绝大部分，为我们所沿用，或稍作凋整，如“数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的一门学科”。事实上，到19世纪末，数理逻辑诞生了，在数理逻辑中既没有数也没有形，很难纳入恩格斯的定义。于是，人们又给出了数学的新定义，即“数学是关于模式和秩序的科学”。模式和秩序的科学都是数学吗？物理学、力学似乎也符合这个定义，所以需要作某些界定。20世纪中叶以来，数学自身在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的发展。人们将数学这门科学视为人类认识客观世界的一个过程。新的义务教育数学课程标准给了数学又一个新的定义，即数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。正像基本粒子是物理学的基本元素，细胞是生物学的基本元素一样，数学是数、形、机会、算法与变化。所处理的对象分为三组：数据，测量，观察资料；推断，演绎，证明；自然现象，人类行为，社会系统的各种模式。对它们作出定性把握和定量刻画，并提供独特的思考方式，即抽象化（选出许多不同现象所共有的性质来进行专门研究）、符号化（把自然语言扩充、深化，而变为紧凑、简明的符号语言，这是自然科学公有的思考方式，以数学为最）、公理化（从前提、从数据、从图形、从不完全和不一致的原始资料进行推理、归纳与演绎并用）、最优化（考察所有的可能性，从中寻求最优解）、建立理论模型（对现实现象进行分析，作出定量和定性相结合的处理）等。应用上述思考方式的经验构成数学能力，帮助人们更好地探求客观世界的规律，对现代社会中大量纷繁复杂的信息进行收集、整理，并作出选择与判断，从混饨中找出秩序，使经验升华为理论，将复杂还原为基本，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。

　　 义务教育的数学课程不仅要考虑数学自身的抽象性、精确性和应用的极端广泛性等特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程。它提供了数学与现实世界的联系、让学生参加社会实践活动、应用数学解决实际问题、经历一个“数学建模”的过程。这不仅需要学生具有转化为数学问题，选择、创造一定的数学方法的能力，而且还要有合作学习的群体意识。当数学用来为现实服务时，不仅需要学生不局限于数学一科，而且还要有多方面的知识，并能解释、交流。数学课程强调学生经历数学活动过程，使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观诸方面得到发展，真正发挥数学课程的育人功能。

　　 新时期的数学课程，不仅要求提供适合于学校进行教学的应用实例，而且要求更深入地研究各类应用的教育目的；不仅要与相关学科协调和配合，而且要教会学生如何应用。数学课程的应用性课题研究，是一个长期而艰巨的任务，有待于有识之士和有志之土的共同努力。

　　 二、数学课程的教育理念

　　 第一，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：

　　 （1）人人学有价值的数学

　　 没有价值的数学，即使人人能够接受也不应进入课堂。数学教育首要的是使学生学习那些既是未来社会所需要的，又是个体发展所必须的；既对学生走向社会适应未来生活有帮助，又对学生的智力训练有价值的数学。学生在义务教学阶段要学习的东西很多，我们不可能让学生在这样宝贵的时间内仅仅学习从属于哪一种价值（或需要）的知识，而必须设计出具有双重乃至多重价值的数学课程。其实，即使像“测量”这样纯“实用数学”的知识，只要从 量化的数学的根本观点来精心设计就可以对学生一般能力的发展、对数学素养和科学精神的培养起积极作用。有价值的数学有显性和隐性之分，显性的数学包括重要的数学事实、基本的数学概念和原理、必要的运用数学以解决问题的技能；隐性的数学，即集中反映为具有元认知作用的各种思想意识（如函数思想、统计思想、优化思想和计算机意识、应用意识等等）；具有智能价值的数学思维能力（如主要用于分析问题的模型化能力。主要用于解决问题的应用能力和一般智力意义上的推理能力等）以及具有人格建构作用的各种数学品质（如热爱科学、追求真理的求实、创新精神，一丝不苟、勤奋学习的科学态度等）。

　　 （2）人人都能获得必要的数学

　　 据统计，发达国家中从事信息产业的人数占就业人口的50％左右。以此推算，到21世纪中叶我国要济身于世界强国之林，将有数亿计的人从事第四产业，大多数职业必将要求人们具有较高的统计分析、数据处理等数学素养。在市场经济活动中，买与卖、存款与保险、股票与证券等与经济活动相关的数学，如比和比例、利息与利率、统计与概率、运筹与优化以及系统分析与决策等等，均成为人人必备的数学知识。数学语言也正在生活化，或者说生活需要越来越多的数学语言。数学语言是世界通用语言，以其准确、简明、抽象的特质正进入人们的日常生活：天气预报的降雨概率通过电视传给千家万户，各种统计图表北例、百分数、“土”号频繁见于报端性产、交通、股市等遇然不同的领域却用着同样的数学手段。外出乘火车所携带的行李外观大小限于长、宽、高之和不超过160cm，就面临一个典型的不定方程问题；“3＋X”考试中，语文、数学才十语三科以150分计算，体现加权平均的思想。俯拾皆是的事例说明，义务教育新的数学课程，在突出思想方法、紧密联系生活的原则下，估算、统计、抽样、数据分析、线性规划、图论、运筹以及空间与图形等知识是人人必需的数学。与此同时，枯燥的四则混合运算、繁难的算术应用题、复杂的多项式恒等变形以及纳公理体系的繁难欧氏几何证明等等，这些与社会需要相背离，与数学发展方向相脱节，与学生实现有效智力活动相冲突的数学内容，理应删去。

　　 （3）不同的人在数学上得到不同的发展

　　 第一，每个人都有自己的生活背景、家庭环境、特定的生活与社会文化氛围，这导致了不同的人有着不同的思维方式、不同的兴趣爱好、不同的发展潜能。现代生物工程学以及生理心理学的大量研究表明，来自父母遗传基因的新生儿素质具有极强的稳定性。害怕、好斗、害羞等特征的形成，其遗传基因起着关键的作用。对胆小的儿童的试验表明，后天的教育训练，可以减轻儿童的恐惧程度，但不能塑造出一个勇敢者。人的差异是绝对的，应持一种客观的态度，使不同的学生得到不同的发展。新体系下的数学课程将在使所有学生获得共同的数学教育的同时，让更多的学生有机会接触、了解乃至钻研自己所感兴趣的数学问题，最大限度地满足每一个学生的需要，对有特殊数学才能和爱好的学生提供更多的发展机会。从这个意义上讲，面向全体学生的数学与精英数学并不对立，恰恰相反，精英数学是面向全体学生的数学教育体系的有机组成部分。 第二，数学能够帮助人们处理数据，进行计算、推理和证明。数学可以提供自然现象、社会系统的数学模型，为其他科学提供语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础，在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造性等方面有着独特的作用。数学又是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言已经成为现代文明的重要组成部分。

　　 数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，这种认识已为人们所接受。当前，我们所言及的教学中的数学建模问题，往往是指出现在非数学领域，但需用数学工具来解决的问题。如来自日常生活、社会、金融、管理等领域，以及理、化、生、医等学科中的应用数学问题。这类问题，往往还是“原坯”形的，要经历一个将原始问题进行分析、假设、抽象的数学加工过程（即用数学工具、方法和模型的选择、分析过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程）。数学模型被人类广泛地用于认识自然现象和社会现象，譬如，数学介入经济学使得经济学发生了深刻而巨大的变革，经济学家通过建模，推动了数理经济学、计量经济学的发展。难怪从1969年到1990年共有27位经济学家获得诺贝尔奖，其中有14位是因为提出和应用数学方法、数学模型于经济分析才获此殊荣，其他也部分地应用了数学，纯作文字分析的几乎没有。数学模型寓于社会系统之中。数学确实是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。

　　 第三，从新体系的数学课程产生的背景及其性质的分析中，它还蕴涵着如下理念：

　　 （1）学生的数学学习内容应当是现实的，有趣的，富有挑战性的。这些内容要有利于学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现，应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式将导致不同的学生表现出不同的数学学习倾向。

　　 增加现代数学中具有广泛应用性的数学内容，如统计、概率、估算、线性规划与决策等是一个方面。另一方面或者说同样重要的是，用增强应用，强调从生活实际和学生知识背景中提出有趣的、具有挑战性的问题以发展学生的数学概念的观点，对传统数学内容进行根本性的处理。淡化“能力”一词的空泛运用，更多地关注“认知方式、认知策略”，重视在一般智力结构中占有重要地位，同时又是数学教学内容需要的观察、猜测、实验、分析、综合、归纳、验证、推理、概括及想象与交流等数学活动。数学活动如果只局限于“数、式及其运算”和“平面几何与证明”的题型训练，将导致模仿与记忆。动手、动口、动脑才能使学生有效地学习。特别是合作交流的学习方式，可以帮助学生在非正式的直觉观念与抽象的数学语言符号之间建立起联系，可以帮助学生把实物的、图画的、符号的、口头的以及心智描绘的数学概念联系起来，交流还可以发展和深化学生对数学的理解（因为解释、推断和对自己思想进行口头和书面的表达，可以使学生加深对数学概念和原理的理解）。数学交流主要包括三个方面，即数学思想的表达（把自己的思想以某种形式，直观的或非直观的、口头的或书面的、普通语言或数学语言表达出来）、数学思想的接受（以某种方式如听、读、看、模等，接受来自他人的思想）和数学思想载体的转换（把数学思想由一种表达方式转换成另一种表达方式，如把一个要领用图画或符号表示出来；把图表或实物模型转化成符号或语言）。无论哪种学习方式，均应承认学生个体的认知差距，因人而异。

　　 （2）数学教学活动必须适合学生的的认知发展水平，必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，应向学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。 学生不是一张白纸，即使是一年级的儿童，他们也有着丰富的生活体验和知识积累，有一定的认知水平，其中也包含着大量的数学活动经验，特别是运用数学解决问题的策略。教学活动应向他们提供自主探索数学知识、掌握基本技能的情境和机会，更进一步积累数学活动的经验。在这些经验中形成的数学思想方法，比形式化了的数学知识更富有扭力，更具有教育价值和感染功能。素质教育的重要表现在于个体心理活动水平的发展与提高，因此，数学思想方法在提高学生素质和培养学生良好的精神品质方面具有十分积极的作用。严格地说，数学思想与数学方法是有区别的。数学思想既牵涉到认识论方面的内容（如对数学科学的看法，对数学与外部世界关系的看法，对数学认识过程的看法），又牵涉到方法论方面的内容（如处理数学问题时的意识、策略和指向）。数学方法则主要牵涉到方法论方面的内容（如表示、加工、处理某种现象或形式的手段，以及为实现某个预期目标的具体途径和方法）。 数学方法经常表现为实现某种数学思想的手段，而对于方法的有意选择，往往体现出对于数学思想的理解深度。数学思想方法是有层次性的，由低到高依次为：解题术、解题方法、数学思想。数学思想更多地显示出统摄性和迁移性，如化归思想、整体思想、变量思想、方程思想等等。

　　 （3）评价的主要目的是为了全面了解学生的学习状况，激励学生的学习和改进教师的教学，应建立评价目标多元化、评价方法多样化的评价体系。对数学学习的评价既要关注学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展；既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。

　　 （4）现代信息技术的发展将对数学教育的价值、目标、内容以及学习和教学的方式产生重大的影响。义务教育阶段的数学课程应重视运用现代技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。