解读学生数学学习的特点

英伦Harsh

一、数学知识的特点

　　作为学生学习的数学知识，不应当是独立于学生生活的“外来物”，不应当是封闭的“知识体系”，更不应当只是由抽象的符号所构成的一系列客观数学事实（概念、定理、公式、法则等）。它大体上有这样四个特点：

　　（1）数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统化，它可以在学生的生活背景中找到实体模型。现实的背景常常为数学知识的发生发展提供情境和源泉，这使得同一个知识对象可以有多样化的载体予以呈现。另一方面，数学知识的形成过程又是可以在教师的引导下，通过学生的自主活动来体验和把握的。

　　（2）数学知识具有一定的结构，这种结构形成了数学知识所特有的逻辑序，而这种结构特征又不只是体现为形式化的处理，它还可以表现为多样化的问题以及问题与问题之间的自然联结和转换，这样，数学知识系统就成为一个相互关联的、动态的活动系统。

　　（3）多数知识都具有两种属性，即它们既表现为一种算法、操作过程，又表现为一种对象、结构。学生在实际应用时，通常应根据需要灵活地改变认知的角度，有时将某个概念当做有操作步骤的过程，有时又需把它作为一个固定的个体，成为思考或操作的对象。例如，三角函数cosβ，可看成x与r之比的运算，也可当做为比值；表达式  ，既是一组运算过程，也是由这组运算关系形成的一个结构，或视为运算结果。

　　（4）知识的抽象程度、概括程度表现出层次性——低抽象度的元素是高抽象度元素的具体模型。例如，数字是抽象字母的具体模型，而字母又是抽象函数的具体模型。同一个对象在不同的学习阶段，或者对具有不同背景的学生而言，表现出不同的抽象程度。例如运算，对于小学生来说，就是数的四则运算，而对于初中生而言，它还可以是代数式运算，甚至几何变换；函数也是如此，对1～4年级学生来说，它只是一个数式；对于5～6年级学生来说，它还是一个模式，表示两个对象之间的一种确定联系；而对于初中生来说，它则是一种表示变化现象中变量之间关系的数学模型。

　　二、学生数学学习的情感因素

　　有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，而参与的程度却与学生学习时产生的情感因素密切相关。如学习数学的动机与数学学习价值的认可，对学习对象的喜好，成功的学习经历体验，适度的学习焦虑，成就感、自信心与意志等等。

　　心理学的理论表明，个体的动机、情感、意志、气质等非智力因素对数学学习以及智力开发有着很大影响。事实上，这些非智力因素本身也是个体全面发展的重要标志。我们的数学教学活动显然应当把学生的非智力因素教育作为教学目标之一。

　　只注重学生的智力发展，不考虑超负荷训练的数学课程可能会给学生的数学学习经历留下太多的阴影，从而造就许多“失败者”的心态，并以这种心态去面对今后的人生，这是我们今天的数学课堂普遍存在的现象。作为促进学生一般性发展的数学学习，应该更多地关注学习的情感因素，使学生的非智力因素与智力因素协调发展。

　　事实上，健康与富有活力的学习活动、独立思考与合作交流的学习方式、自信以及相互尊重的学习氛围非常有利于学生非智力因素的发展，有利于健康人格的形成。因此，教师应当为学生创设一个宽松的数学学习环境，使得他们能够在其中积极自主地、充满自信地学习数学，平等地交流各自的数学理解，并通过相互合作去解决所面临的问题。

　　当然，这里谈到的非智力因素在很大程度上还属于外部动机，最终还应当使之转变为直接指向数学学习的内部动机（认知内驱力）。而这一转变的实现来自于多方面：除了对经历挫折、获得成功的体验以外，或许更多的是由于在学习活动的过程中所体验的，对数学本身的感受、领悟和欣赏等。

　　三、学生数学学习中认知、情感发展的阶段性特点

　　虽然不同的个体，其认知发展、情感和意志要素不完全相同，但相同年龄段的学生却有着整体上的一致性，而不同年龄段的学生在整体上有比较明显的差异。具体说来：

　　小学低年级—中年级的学生更多地关注“有趣、好玩、新奇”的事物。因此，学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排都应当充分考虑到学生的实际生活背景和趣味性（玩具、故事等），使他们感觉到学习数学是一件有意思的事情，从而愿意接近数学。

　　小学中年级—高年级的学生开始对“有用”的数学更感兴趣。此时，学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排更应当关注数学在学生的学习（其他学科）和生活中的应用（现实的、具体的问题解决），使他们感觉到数学就在自己的身边，而且学数学是有用的、必要的（长知识、长本领），从而愿意并且想学数学。

　　小学高年级—初中的学生开始有比较强烈的自我和自我发展的意识，因此对与自己的直观经验相冲突的现象，对“有挑战性”的任务很感兴趣。这使得我们在学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排上除了关注数学的用处以外，也应当设法给学生经历“做数学”的机会（探究性问题、开放性问题），使他们能够在这些活动中表现自我、发展自我，从而感觉到数学学习是很重要的活动，并且初步形成“我能够而且应当学会数学地思考”。

可见，处于不同发展阶段的儿童，其思维水平、思维方式与思维特征有显著的差异，而处于同一发展阶段的儿童则具有较为明显的一致性，这种匹配性是客观存在的，而且其发展又主要通过学习活动来实现。与此相适应，学生有效的数学学习也应当经历不同的阶段性。处于每一发展阶段的学生应当有适合他们自己思维水平和思维方式的学习素材，应当经历对他们来说有意义的学习活动。例如，同底数幂的除法：  ，m＞n＞0，m，n均为正整数。

　　方法一：因为  ，  ，…，  所以  ；

　　方法二：因为  ，  ，  所以

　　  ；

　　方法三：由幂的乘法法则得  ，再根据除法是乘法的逆运算，可得  ，以下再去证明商的惟一性。

　　上述三种方法显然在思维水平上体现了完全不同的要求。