学生数学学习的过程

英伦Harsh

数学教育的价值并非单纯地通过积累数学事实来实现，它更多地通过对重要的数学思想方法的领悟、对数学活动经验的条理化、对数学知识的自我组织等活动来实现。因此，数学学习的主题应当是基本的、重要的数学观念，数学思想方法和数学活动（如《标准》中所列举的数感、符号感、空间观念、统计观念、推理能力、应用意识等），而不是单纯的数学事实。而对上述"主题"的学习应当通过对具体数学知识的了解、应用、思考、表达等学习活动过程来进行。

　　 从本质上说，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解的过程：他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考、与他人交流和反思等，去建构对数学的理解。

　　 因此，学生数学学习的过程可以说是一种再创造过程，而且是真正意义上的再创造（主观意义上，非客观意义上）：学生从事对数学知识的提炼和组织--通过对低层次活动本身的分析，把低层次的知识变为高层次的常识，再经过提炼和组织而形成更高层次的知识，如此循环往复；再把数学放到现实中去加以使用。在这一活动过程中，获得经验、对经验的分析与理解、对获得过程以及活动方式的反思至关重要。

　　 具体来说，学生的有效数学学习活动主要呈现出如下一些特点。

　　 一、学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程

　　 如前所述，在学生来到学校之前，他们已经拥有了大量的日常生活经验。而随着学生的成长，他们从学校里所获得的经验会比在学校外的日常生活中所获得的经验更多、更重要。正是基于这些校内、校外的经验，学生才能够通过各种活动将新旧知识联系起来，思考现实中的数量关系和空间形式，由此发展他们对数学的理解。而数学中的量的关系、量的变化等都是以符号（关系符号、运算符号、图形、图表等）加以表示的。学生身心发展的这一特点和数学的抽象性特征共同决定了学生数学学习基本是一种符号化语言与生活实际相结合的学习，两者之间的相互融合与转化，成为学生主动建构的重要途径。

　　 二、学生数学学习的过程充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动

　　 从学生认识发生、发展的规律来看，传统的数学学习中，教师讲授、学生练习的单一学习方式已不能适应学生发展的需求了，这种方式甚至造成了学生学习的障碍（如过多的演练使学生对数学生厌和畏惧）。注重学生发展的数学学习应该提供多样化的活动方式，让学生积极参与，并在这些丰富的活动中进行交流。

　　 从数学的发展来看，它本身也是充满着观察与猜想的活动。传统教科书把这一活动过程"压缩"成了毫无生气的形式结构，这实在是一种"误导"。更何况数学发展到今天，由于借助了计算机手段，其应用的方式大大拓展，现代公民收集数据、处理数据、解决问题的方式也是多样的，学校中的数学教育就有必要改变传统数学的面貌以便和人们日常生活中使用的数学趋于一致。学生在学校学习数学的目的不仅仅是获得计算的能力（它占的比例将大大缩小），而更重要的是获得自己去探索数学的体验和利用数学去解决实际问题的能力，获得对客观事实尊重的理性精神和对科学执着追求的态度。因此，在数学教学中，必须通过学生主动的活动，包括观察、描述、操作、猜想、实验、收集整理、思考、推理、交流和应用等等，让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质，亲身体验如何"做数学"、如何实现数学的"再创造"，并从中感受到数学的力量，促进数学的学习。教师在学生进行数学学习的过程中应当给他们留有充分的思维空间，使得学生能够真正地从事思维活动，并表达自己的理解，而不只是模仿与记忆。

　　 好的教学能够促进学生进行有效的学习。而教师的主要作用在于组织教学活动，激发学生主动从事数学活动，并在学生需要的时候给予恰当的帮助。教学中不应追求知识的"一步到位"，要体现知识发展的阶段性，符合学生的认识规律；不要把概念过早地"符号化"，要延长知识的发生与发展的过程，要学生充分经历"非正式定义"的过程；教学中不要追求"统一化"和"最佳化"（知识的理解与表达方式、问题的求解思路等），应当致力于"多样化""合理化"，以使学生对知识的真正理解（自主建构）和个性化发展成为可能。

　　 教师在设计教学时应充分考虑学生主体性的发挥，让学生经历自主"做数学"的过程；还要提供必要的机会，使他们能够从事反思活动。研究表明，人的一般认知发展，包括认知能力的发展和认知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思活动。

　　 同时，教学内容的呈现不要追求"标准化""形式化"，应当给学生经历一个从"非正规化"到"正规化"的过程，使其有机会运用自己的经验表达自己对知识的理解。提倡自学，促使学生从中自己学会怎样学习，这对于培养创造力有非常重要的意义。

　　 三、学生的数学学习过程应当是富有个性、体现多样化学习需求的过程

　　 不同发展阶段的学生在认知水平、认知风格和发展趋势上存在着差异，处于同一发展阶段的不同学生在认知水平、认知风格和发展趋势上也存在着差异。例如，学生对字母的理解分为好几个水平：从最初把字母当做具体的东西，到忽略字母，再到把字母当做特定的一个数，把字母当做一个未知数，把字母当做可以取不同的数，最后到把字母当做变量。而十四五岁的学生中，真正达到把字母当做变量这一级抽象学习水平的只有10％～20％。学生个体的差异很大，同一年级的差异甚至可能达到7岁。

　　 人的智力结构是多元的，有的人善于形象思维，有的人长于计算，有的人擅长逻辑推理，这本没有优劣之分，只表现出不同的特征与适应性。另外，每个学生都有自己的生活背景、家庭环境和一定的文化感受，从而导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。就个体的整个数学学习而言，多种风格的认知方式可以为其形成良好的数学认知结构提供保证。因此，学生在学习过程中应当尽可能多地经历数学交流的活动，使得他们能够在活动中感受别人的思维方法和思维过程，以改变自己在认知方式上的单一性，促进其全面发展。同时，通过向他人表达自己的思维过程，有助于反思与完善自我认知方式，从而达到个性发展的目的。

　　 为此，数学课程要把学生的一般发展视为首要目标，要极为关注学生数学学习的个别差异。教科书不应当采用目标为本的模式--要求所有的学生都把教科书所呈现的知识形态作为模本，复制到自己的头脑中去。教科书应当作为学生数学学习的起点和素材，使他们在对内容的处理过程中获得发展。重要的数学观念、数学思想方法和数学活动应当成为教科书的主线，并且尽可能早地以不同的形式，反复出现在学生的数学学习活动中，呈现出一种螺旋式。这一方面可以使学生有机会逐步建构对同一知识的不同层次的理解，另一方面也和处于不同认知发展阶段的学生的思维方式相适应。

　　 第四节数学学习与学生身心发展关系的研究给我们的启示

　　 学校教育的首要职能是促进学生的发展，新的数学课程的构建必须跳出只关注数学学科内容体系和结构的束缚，真正把人的发展放在首要位置。必须以促进学生自主、全面和可持续发展为目的。

　　 研究表明，每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，关键是课程内容中要提供好的素材，以促进学生的这种发展。根据学生身心发展的规律，儿童有一种与生俱来的以自我为中心的探索欲和好奇心，要充分适应和利用儿童的这种心理特点。因此，数学课程应该选取那些对学生来说具有现实意义的、与生活实际相联系的内容。

　　 研究表明，学生的发展总体上具有阶段性，从小学到初中再到高中，其思维有一个逐渐抽象的过程。在课程中应充分考虑儿童心理发展的水平，一次抽象完成不了的课题，可以通过反复出现、多次抽象来完成。教科书应给学生提供生动、有趣的素材，尤其在学生未达到较高境界时，为他们提供形象支持的素材，以帮助他们理解。教学中应重视学生的直接经验，重视第一手材料，为学生的数学学习提供具体形象的认识支柱。

　　 学生总爱把自己当成探索者、研究者、发现者，并且往往是当自己的观点与集体不一致时，才会产生要证实自己思想的欲望，所以课程内容在难度上应具有一定的挑战性。但是提出挑战并不意味着要难倒学生，而是要激励学生在学习的过程中不断地去获得成功的体验。因此，课程内容应处于学生"最近发展区"的范围之内，让成功感始终伴随学生学习的旅程，以保证学生不会因过多的失败而放弃他们的努力，失去发展的机会。

　　 学生是学习的主体，所有的新知识只有通过学生自身的"再创造"活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为有效的知识。以学科知识为中心的课程按公理化的体系，用成人的逻辑将整理好的知识呈现给学生，必然形成学生被动吸收、机械记忆、反复练习、强化贮存的学习习惯和方式。要想改变学生的学习方式，一方面要改变教科书的形态，在呈现方式上有大胆的突破；另一方面，教师要本着学生是学习的主体，在课堂上开展学生之间、师生之间名符其实的交流，鼓励学生通过各种活动，进行各种观点之间真诚的交锋，使学生从经验中、活动中，通过思考与交流有目的、有意义地建构属于他们自己的知识结构，获得富有成效的学习体验。同时要利用现代教育技术，加强计算机辅助教学的应用，使学生的学习变得更主动和更有生气，从而更加有效。

　　 学习心理学的研究表明，学生在发展上是存在差异的，要求没有差异就意味着不要求发展。因此，课程在评价上应把评价的对象从对学生的认知评价扩展为全面的、综合教育质量的评价。应建立多方面发展的评价体系，包括学习能力、态度情感、实践能力和学习方法等。除了采用多样化评价方式外，还应强调评价者和被评价者的主动参与，特别是应提供学生解释与评价自己学习结果的权利，允许学生的答案与教师的不同、学生与学生之间的答案不同。应该让评价为学生自由发展创造足够的空间，实现不同的人在数学上获得不同的发展。