中学数学《排列、组合、二项式定理-基本原理》教案

简迷离

   
教学目标 　　（1）正确明白加法原理与乘法原理的意义，分清它们的条件和结论；　　（2）能结合树形图来帮助明白加法原理与乘法原理；　　（3）正确区分加法原理与乘法原理，哪一个原理与分类有关，哪一个原理与分步有关； 　　（4）能应用加法原理与乘法原明白决一些简单的应用问题，提高学生明白和运用二个原理的能力；　　（5）通过对加法原理与乘法原理的学习，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯。
教学建议
一、知识结构
二、重点难点分析　　本节的重点是加法原理与乘法原理，难点是准确区分加法原理与乘法原理。　　加法原理、乘法原理本身是容易明白的，甚至是不言自明的。这二个原理是学习排列组合内容的基础，贯穿整个内容之中，一方面它是推导排列数与组合数的基础；另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有许多直接应用。　　二个原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法种数是多少的问题，其区别在于：运用加法原理的前提条件是， 做一件事有n类方案，选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的；运用乘法原理的前提条件是，做一件事有n个骤，只要在每个步骤中任取一种方法，并依次完成每一步骤就能完成此事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的。简单的说，如果完成一件事情的所有方法是属于分类的问题，每次得到的是最后结果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是属于分步的问题，每次得到的该步结果，就要用乘法原理。
三、教法建议　　关于二个计数原理的教学要分三个层次：　　第一是对二个计数原理的认识与明白．这里要求学生明白二个计数原理的意义，并弄清二个计数原理的区别．知道什么情况下使用加法计数原理，什么情况下使用乘法计数原理．（建议利用一课时）．　　第二是对二个计数原理的使用．可以让学生做一下习题（建议利用二课时）：　　①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；　　②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数；　　③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；　　④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；　　⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；　　⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有二个重复数字的4位整数等等．　　第三是使学生掌握二个计数原理的综合应用，这个过程应该贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用二个计数原理，每一道排列、组合问题都可以直接利用二个原理求解，另外直接计算法、间接计算法都是二个原理的一种体现．老师要引导学生认真地分析题意，恰当的分类、分步，用好、用活二个基本计数原理．

教学设计示例
加法原理和乘法原理
教学目标
　　正确明白和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点和难点
　　重点：加法原理和乘法原理．
　　难点：加法原理和乘法原理的准确应用．
教学用具
　　投影仪．
教学过程设计
（一）引入新课
　　从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．
　　今天我们先学习二个基本原理．
（二）讲授新课
　　1．介绍二个基本原理
　　先考虑下面的问题：
　　问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
　　因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法．
　　这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子——加法原理）：
　　加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法．
　　请大家再来考虑下面的问题（打出片子——问题2）：
　　问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条（见下图），从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？
　　这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法．
　　一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：
　　乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
2．浅释二个基本原理
　　二个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．
　　比较二个基本原理，想一想，它们有什么区别？
　　二个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．
　　看下面的分析是否正确（打出片子——题1，题2）：
　　题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．
1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．
　　题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？
　　第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法．
　　题2中的合数是4，6，8，9，10这五个，其中6既含有因数2，也含有因数3；10既含有因数2，也含有因数5．题中的分析是错误的．
　　从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．
　　（此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用二个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对二个基本原理的明白更深刻，而且还可以培养学生的学习能力）
　　进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．
　　如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理．
　　也就是说：类类互斥，步步独立．
　　（在学生对问题的分析不是很清楚时，老师及时地归纳小结，能使学生在应用二个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入明白二个基本原理中分类、分步的真正涵义和实质）
（三）应用举例
　　现在我们已经有了二个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．
　　例1  书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
　　（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
　　（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
　　（3）若从这些书中取不同的科目的书二本，有多少种不同的取法？
　　（让学生思考，要求依据二个基本原理写出这3个问题的答案及理由，老师巡视指导，并适时口述解法）
　　（1）从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据加法原理，得到的取法种数是
N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．
　　（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语