中学数学初中数学两圆的公切线

简迷离

第一课时 二圆的公切线（一） 　　教学目标：
　　（1）明白二圆相切长等有关概念，掌握二圆外公切线长的求法；
　　（2）培养学生的归纳、总结能力；
　　（3）通过二圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．
　　教学重点：
　　明白二圆相切长等有关概念，二圆外公切线的求法．
　　教学难点：
　　二圆外公切线和二圆外公切线长学生明白的不透，容易混淆．
　　教学活动设计
　　（一）实际问题（引入）
　　很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和二个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
　　（二）二圆的公切线概念
　　1、概念：
　　老师引导学生自学．给出二圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：
　　和二圆都相切的直线，叫做二圆的公切线．
  　  
　　(1)外公切线：二个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．
　　(2)内公切线：二个圆在公切线的二旁时，这样的公切线叫做内公切线．
　　(3)公切线的长：公切线上二个切点的距离叫做公切线的长．
　　2、明白概念：
　　(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
　　(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
　　(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对二个圆来说的，且这条线段是以二切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．
　　(2)公切线是直线，而公切线的长是二切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．
　　（三）二圆的位置与公切线条数的关系
　　组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材P143练习第2题表．
　　（四）应用、反思、总结
　　例1、已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．
　　分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，老师点拨，规范步骤）
  
　　解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．
　　过 O1作O1C⊥O2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形，
　　于是有
　　O1C⊥C O2，O1C= AB，O1A=CB．
　　在Rt△O2CO1和．
　　O1O2=13，O2C= O2B- O1A=5
　　AB= O1C=  (cm)．
　　反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．
　　 例2*、如图，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为二圆的公切线，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．
  
　　分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有二角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作二圆的公切线CD如图，因为AB是二圆的公切线，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP．因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解．
　　解：过点P作二圆的公切线CD
　　∵ AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点
　　∴∠CPA=∠BAP　　∠CPB=∠ABP
　　又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°
　　∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°
　　∴∠CPA+∠CPB=90°　　即∠APB=90°
　　在 Rt△APB中，AB2=AP2+BP2
　　
　　说明：二圆相切时，常过切点作二圆的公切线，沟通二圆中的角的关系．
　　（五）巩固练习
　　1、当二圆外离时，外公切线、圆心距、二半径之差一定组成(　)
　　(A)直角三角形　(B)等腰三角形　(C)等边三角形　(D)以上答案都不对．
　　此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)
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