一.空间直角坐标系 1. 将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图7-1,其符合右手规则。 2. 各轴名称,坐标面的概念以及卦限的划分如图7-2所示。 3 空间点M(x,y,z)的坐标表示方法,关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法。通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来。 二. 空间两点间的距离 若M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点, 则距离为 三. 向量及其运算 1向量的概念 ● 向量:既有大小,又有方向的量; ● 在 数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小,其方向表示向量的方向; ● 在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量); ● 向量的表示方法有a、i、F、 等等。 ● 向量相等a=b:如果两个向量大小相等,方向相同(即经过平移后能完全重合的向量)。 ● 向量的模:向量的大小,记为 、 。 ● 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 ● 向量平行a∥b:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 2向量的运算 ● 加减法:三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和结合率 ● 向量与数的乘法: 。其满足的运算规律有结合率、分配率。设 表示与非零向量a同方向的单位向量,那么 ● 定理1:设向量a≠0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数λ,使b= 3向量的坐标 向量在轴上的投影 几个概念 ● 轴上有向线段的值:设有一轴u, 是轴u上的有向线段,如果数 满足 ,且当 与轴u同向时 是正的,当 与轴u反同向时 是负的,那么数 叫做轴u上有向线段 的值,记做AB,即 。设e是与u轴同方向的单位向量,则 ● 设A、B、C是u轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有 ● 两向量夹角的概念:设有两个非零向量a和b,任取空间一点O,作 , ,规定不超过 的 称为向量a和b的夹角,记为 。 ● 空间一点A在轴u上的投影:通过点A作轴u的垂直平面,该平面与轴u的交点 叫做点A在轴u上的投影。 向量 在轴u上的投影:设已知向量 的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点 和 ,那么轴u上的有向线段的值 叫做向量 在轴u上的投影,记做 1. 投影定理 ● 性质1:向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦: ● 性质2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即 ● 性质3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即 4向量运算的坐标表示 设a = {ax,ay,az},b = {bx,by,bz}即a = ax i + ayj + azk,b = bx i +by j +bzk 则 ◆ 加法: a + b = (ax+ bx)i +(ay + by) j +(az + bz)k ◆ 减法: a―b = (ax-bx )i + (ay-by) j +( az-bz )k ◆ 乘数: λa = (λax )i + (λay)j + (λaz)k ◆ 或 a + b ={ ax+ bx,ay + by,az + bz } a-b ={ ax-bx,ay-by,az-bz } λa = {λax,λay,λaz} ◆ 平行:若a≠0时,向量b∥a相当于b =λa,即 {bx,by,bz} =λ{ax,ay,az} 也相当于向量的对应坐标成比例即 5向量的模与方向余弦的坐标表示式 1. 模 图 7-6 2. 方向余弦 由性质1知 ,当 时,有 ◆ 任意向量的方向余弦有性质: ◆ 与非零向量a同方向的单位向量为: 四. 空间直线 1.直线的点向式方程 在空间给定了一点 与一个非零向量v = {X,Y,Z},则过点M0且平行于向量v的直线l就惟一地被确定. 向量v叫直线l的方向向量. 显然,任一与直线l上平行的飞零向量均可作为直线l的方向向量. 下面建立直线l的方程. 如图,设M (x,y,z) 是直线l上任意一点,其对应的向径是r = { x,y,z },而 对应的向径是r0,则因 //v,有t∈R, = t v. 即有 r-r0= t v 所以得直线l的点向式向量参数方程 r = r0+t v (3.4-1) 以诸相关向量的分量代入上式,得 2.直线的一般方程 空间直线l可看成两平面p1和p2的交线. 事实上,若两个相交的平面p1和p2的方程分别为 p1: p2: 那么空间直线l上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程,即应满足方程组
|