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[数学] 汇总向量代数与空间解析几何

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发表于 2014-11-13 15:36:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
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一.空间直角坐标系
1. 将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图71,其符合右手规则。
2. 各轴名称,坐标面的概念以及卦限的划分如图72所示。
3 空间点M(x,y,z)的坐标表示方法,关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法。通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来。
二. 空间两点间的距离
M1(x1,y1,z1)M2(x2,y2,z2)为空间两点,
则距离为
三. 向量及其运算
1向量的概念
● 向量:既有大小,又有方向的量;
● 在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小,其方向表示向量的方向;
● 在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量);
● 向量的表示方法有aiF、 等等。
● 向量相等a=b:如果两个向量大小相等,方向相同(即经过平移后能完全重合的向量)。
● 向量的模:向量的大小,记为 、 。
● 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
● 向量平行ab:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。
2向量的运算
● 加减法:三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和结合率
● 向量与数的乘法: 。其满足的运算规律有结合率、分配率。设 表示与非零向量a同方向的单位向量,那么
● 定理1:设向量a0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数λ,使b
3向量的坐标
向量在轴上的投影
几个概念
● 轴上有向线段的值:设有一轴u, 是轴u上的有向线段,如果数 满足 ,且当 与轴u同向时 是正的,当 与轴u反同向时 是负的,那么数 叫做轴u上有向线段 的值,记做AB,即 。设e是与u轴同方向的单位向量,则
● 设ABCu轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有
● 两向量夹角的概念:设有两个非零向量ab,任取空间一点O,作 , ,规定不超过 的 称为向量ab的夹角,记为 。
● 空间一点A在轴u上的投影:通过点A作轴u的垂直平面,该平面与轴u的交点 叫做点A在轴u上的投影。
向量 在轴u上的投影:设已知向量 的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点 和 ,那么轴u上的有向线段的值 叫做向量 在轴u上的投影,记做
1. 投影定理
● 性质1:向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦:
● 性质2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即
● 性质3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
4向量运算的坐标表示
a = {axayaz}b = {bxbybz}a = ax i + ayj + azkb = bx i +by j +bzk
◆ 加法: a + b = ax+ bxi +ay + byj +az + bzk
◆ 减法: ab = axbx i + aybyj +azbz k
◆ 乘数: λa  =  (λax )i + (λay)j + (λaz)k
◆ 或  a + b ={ ax+ bxay + byaz + bz }
ab ={ axbxaybyazbz }
λa  = {λax,λay,λaz}
◆ 平行:若a0时,向量ba相当于b =λa,即
{bxbybz} =λ{axayaz}
也相当于向量的对应坐标成比例即
5向量的模与方向余弦的坐标表示式
1. 模
76
2. 方向余弦
由性质1知 ,当 时,有
◆ 任意向量的方向余弦有性质:
◆ 与非零向量a同方向的单位向量为:
四. 空间直线
1.直线的点向式方程
在空间给定了一点 与一个非零向量v = {XYZ},则过点M0且平行于向量v的直线l就惟一地被确定. 向量v叫直线l的方向向量. 显然,任一与直线l上平行的飞零向量均可作为直线l的方向向量.
下面建立直线l的方程.
如图,设M (xyz) 是直线l上任意一点,其对应的向径是r = { xyz },而 对应的向径是r0,则因 //v,有tR= t v. 即有
rr0= t v
所以得直线l的点向式向量参数方程
r = r0t v                (3.41)
以诸相关向量的分量代入上式,得
2.直线的一般方程
空间直线l可看成两平面p1p2的交线. 事实上,若两个相交的平面p1p2的方程分别为
p1
p2
那么空间直线l上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程,即应满足方程组

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