|
解析几何在高中数学中既是重点，又是难点，每年高考所占分值较大，综合性强，学生理解和运用时困难较大，特别是对基础较差的学生来说困难更大。因此，有必要从曲线与方程概念的理解入手，掌握求曲线方程的基本思路和基本方法，从而起到事半功倍的效果。为此浅议如下： 一、曲线与方程 曲线与方程的概念，包括两方面的含义： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，直观地说"点不比解多"，也可以说曲线上没有坐标不满足方程的点，称为纯粹性。 （2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，直观地说"解不比点多"，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程。 例1：以线段AB为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹是以AB为直径的圆。 这个答案是错误的，因为不具有纯粹性，也就是说图形包含有不符合条件的A、B两点（为什么），所以正确答案是以AB为直径的圆且直径AB两端点A、B除外（如图所示）。 例2：一动点M到y轴的四倍与它到A（1，-3）的距离平方相等，则动点M的轨迹是：以（3，-3）为圆心，半径为的圆。 这个答案错误，因为设M（x，y），则4|x|=（x-1）2+（y+3）2。 当x≥0时，方程可化为（x-3）2+（y+3）2=8；当x<0时，方程可化为（x+1）2+（y+3）2=0。 所以动点M的轨迹 是以（3，-3）以为圆心，半径为的圆，与点（-1，-3）所组成。 注意：不能把点（-1，-3）遗漏，若遗漏则不具备完备性，解答将是错误的。 正是由于曲线与方程有两方面的含义，它沟通了数学内数与形、代数与几何最基本的联系，形成了一门学科--解析几何，从而用代数的方法去研究几何图形的性质，这就是解析几何的基本思想。 求曲线的方程是解析几何的首要问题，有了曲线的方程，才能利用方程研究曲线的性质，求曲线的方程可以是曲线的普通方程，也可以是它的参数方程，参数方程中消去参数就得到了普通方程，选择哪种形式的方程解题，要根据具体条件和要解决的问题而定。 二、建立适当的坐标系求轨迹方程 我们知道，一条曲线在不同的坐标系下方程不同，因此要适当地建系，以便简化方程，进而便于研究曲线的性质。 怎样才是适当呢？一般地，若所求的曲线关于某直线成轴对称，常选取对称轴为坐标轴，若所求的曲线关于某点成中心对称，选取该点为坐标原点，这样求得的曲线方程较为简单。 三、求轨迹方程的基本方法、思路 轨迹是动点M按照一定的规律，即按轨迹条件运动形成的图形，这个轨迹条件一旦用动点M的坐标（x，y），用x，y的关系式表示出来，即f（x，y）=0，轨迹方程f（x，y）=0就产生出来，因此求轨迹的基本思路是： 这里所谓的"坐标化"就是把轨迹条件中各种数量用动点M的坐标（x，y）表示出来，轨迹条件可表现为不同的形式，其中使它转化为有利于坐标化的形式正是困难所在。同时还要注意一个最常用、最基础的公式，即|P1P2|=， 务必记好用好。 四、求曲线方程的几种基本方法解法举例 例1：（1）和坐标轴都相切的圆的圆心M的轨迹是什么？ （2）圆心在直线5x-3y=8上，且圆与坐标轴相切，求此圆的方程式。 解：（1）如图所示，设M（x，y），则M∈P={M||MA|=|MB|}，其中A，B分别是点M到x轴、y轴的垂足。 又∵|MA|=|y|，|MB|=|x| ∴|y|=|x| 即y2=x2 ∴y=±x 又∵圆心M不能与原点重合（为什么） ∴圆心M的轨迹方程是y=±x（x≠0） 点M的轨迹是直线y=x和直线y=-x且原点除外 （2）分析：由（1）可知所求圆的圆心是在直线y=x与直线5x-3y=8交点和直线y=-x与直线5x-3y=8的交点 动点M是依赖于某一变量t（或）表示动点M的坐标（x，y）得到M点的参数方程，同时要注意参数范围和消参的等价性。
| 
发表于 2015-8-12 10:50:27
