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[数学] 数学教师招聘考试专业知识复习(一)

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发表于 2020-3-31 16:11:14 | 显示全部楼层 |阅读模式
2017年最新教师招聘考试内部教材
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一、复习要求(由于招考题目仅为高考知识,所以本内容以均为高考知识点)1、理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义;2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法;3、理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法;4、理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系;    5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。二、学习指导  1、集合的概念:(1)集合中元素特征,确定性,互异性,无序性;(2)集合的分类:①按元素个数分:有限集,无限集;    ②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;(3)集合的表示法:    ①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,…};②描述法。2、两类关系:(1)元素与集合的关系,用file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif或file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif表示;   (2)集合与集合的关系,用file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif,file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif,=表示,当Afile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gifB时,称A是B的子集;当Afile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gifB时,称A是B的真子集。3、集合运算   (1)交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},CUA={x|x∈U,且xfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gifA},集合U表示全集;(2)运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。    4、命题:(1)命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题;(2)复合命题的形式:p且q,p或q,非p;   (3)复合命题的真假:对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。   (3)四种命题:记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。5、充分条件与必要条件   (1)定义:对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当它的逆命题为真时,q是p的充分条件,p是q的必要条件,两种命题均为真时,称p是q的充要条件;   (2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。从集合角度看,若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合q,则当Afile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gifB时,p是q的充分条件。Bfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gifA时,p是q的充分条件。A=B时,p是q的充要条件;(3)当p和q互为充要时,体现了命题等价转换的思想。6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。    7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。三、典型例题   例1、已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N。解题思路分析:在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、N均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}∴ M∩N=M={y|y≥1}说明:实际上,从函数角度看,本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x,y)|y=x2+1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y=x2+1上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B+{x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围。解题思路分析:化简条件得A={1,2},A∩B=Bfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gifBfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gifA根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2}当B=φ时,△=m2-8<0∴ file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif当B={1}或{2}时,file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif,m无解当B={1,2}时,file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gif∴ m=3综上所述,m=3或file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif说明:分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。例3、用反证法证明:已知x、y∈R,x+y≥2,求 证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析:假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾∴ 假设不成立∴ x、y中至少有一个大于1说明;反证法的理论依据是:欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。解题思路分析:利用“file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gif”、“file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif”符号分析各命题之间的关系   Dfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gifCfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gifBfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gifA∴ Dfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gifA,D是A的充分不必要条件说明:符号“file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gif”、“file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。例5、求直线l:ax-y+b=0经过两直线l1:2x-2y-3=0和l2:3x-5y+1=0交点的充要条件。解题思路分析:从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。由 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image021.gif得l1,l2交点P(file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image023.gif)∵ l过点P∴ file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif∴ 17a+4b=11充分性:设a,b满足17a+4b=11∴ file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image027.gif代入l方程:file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image029.gif整理得:file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image031.gif此方程表明,直线l恒过两直线file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif的交点(file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image023.gif)而此点为l1与l2的交点∴ 充分性得证∴ 综上所述,命题为真说明:关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif”,双向传输,同时证明充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。四、同步练习(一)        选择题1、设M={x|x2+x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与M的关系是A、{a}=M        B、Mfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gif{a}        C、{a}file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image038.gifM        D、Mfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image040.gif{a}2、已知全集U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且A∩B=φ,则a的取值范围是A、  [0,2]       B、(-2,2)      C、(0,2]       D、(0,2)3、已知集合M={x|x=a2-3a+2,a∈R},N、{x|x=b2-b,b∈R},则M,N的关系是A、  Mfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gifN         B、Mfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image038.gifN          C、M=N           D、不确定    4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是A、11            B、10            C、16            D、155、集合M={1,2,3,4,5}的子集是A、15            B、16            C、31            D、326、对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是    A、所给命题为假                   B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真                 D、它的否命题为真7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的A、充分不必要条件                 B、必要不充分条件C、充要条件                       D、既不充分也不必要条件    8、集合A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3l+1,l∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是A、Sfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gifBfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gifA       B、S=Bfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gifA        C、Sfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gifB=A        D、Sfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image038.gifB=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0<m≤1或m<0                   B、0<m≤1C、m<1                           D、m≤110、已知p:方程x2+ax+b=0有且仅有整数解,q:a,b是整数,则p是q的A、充分不必要条件                 B、必要不充分条件充要条件                        D、既不充分又不必要条件(二)        填空题11、已知M={file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image042.gif},N={x|file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image044.gif,则M∩N=__________。    12、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球爱好者65人,则两者都爱好的人数最少是________人。13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。14、命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。15、非空集合p满足下列两个条件:(1)pfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gif{1,2,3,4,5},(2)若元素a∈p,则6-a∈p,则集合p个数是__________。(三)        解答题16、设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|},若A∩B是单元素集合,求a取值范围。17、已知抛物线C:y=-x2+mx-1,点M(0,3),N(3,0),求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。18、设A={x|x2+px+q=0}≠φ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A∩M=φ,A∩N=A,求p、q的值。
19、已知file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image046.gif,b=2-x,c=x2-x+1,用反证法证明:a、b、c中至少有一个不小于1。

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