数学教师招聘考试专业知识复习（一）

2015教师招考

一、复习要求（由于招考题目仅为高考知识，所以本内容以均为高考知识点）1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；    5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。二、学习指导  1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；    ②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：    ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif或file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif表示；   （2）集合与集合的关系，用file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif，file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif，=表示，当Afile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gifB时，称A是B的子集；当Afile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gifB时，称A是B的真子集。3、集合运算   （1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gifA｝，集合U表示全集；（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。    4、命题：（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；   （3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。   （3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。5、充分条件与必要条件   （1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；   （2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当Afile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gifB时，p是q的充分条件。Bfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gifA时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；（3）当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。    7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。三、典型例题   例1、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。解题思路分析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}∴ M∩N=M={y|y≥1}说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。解题思路分析：化简条件得A={1，2}，A∩B=Bfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gifBfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gifA根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}当B=φ时，△=m2-8<0∴ file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif当B={1}或{2}时，file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif，m无解当B={1，2}时，file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gif∴ m=3综上所述，m=3或file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析：假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾∴ 假设不成立∴ x、y中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。解题思路分析：利用“file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gif”、“file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif”符号分析各命题之间的关系   Dfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gifCfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gifBfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gifA∴ Dfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gifA，D是A的充分不必要条件说明：符号“file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gif”、“file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。例5、求直线l：ax-y+b=0经过两直线l1：2x-2y-3=0和l2：3x-5y+1=0交点的充要条件。解题思路分析：从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。由 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image021.gif得l1，l2交点P（file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image023.gif）∵ l过点P∴ file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif∴ 17a+4b=11充分性：设a，b满足17a+4b=11∴ file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image027.gif代入l方程：file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image029.gif整理得：file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image031.gif此方程表明，直线l恒过两直线file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif的交点（file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image023.gif）而此点为l1与l2的交点∴ 充分性得证∴ 综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。四、同步练习（一）        选择题1、设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是A、{a}=M        B、Mfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gif{a}        C、{a}file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image038.gifM        D、Mfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image040.gif{a}2、已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是A、  [0，2]       B、（-2，2）      C、（0，2]       D、（0，2）3、已知集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b2-b，b∈R}，则M，N的关系是A、  Mfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gifN         B、Mfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image038.gifN          C、M=N           D、不确定    4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是A、11            B、10            C、16            D、155、集合M={1，2，3，4，5}的子集是A、15            B、16            C、31            D、326、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是    A、所给命题为假                   B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真                 D、它的否命题为真7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的A、充分不必要条件                 B、必要不充分条件C、充要条件                       D、既不充分也不必要条件    8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3l+1，l∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是A、Sfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gifBfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gifA       B、S=Bfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gifA        C、Sfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gifB=A        D、Sfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image038.gifB=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0<m≤1或m<0                   B、0<m≤1C、m<1                           D、m≤110、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的A、充分不必要条件                 B、必要不充分条件充要条件                        D、既不充分又不必要条件（二）        填空题11、已知M={file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image042.gif}，N={x|file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image044.gif，则M∩N=__________。    12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人。13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。14、命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。15、非空集合p满足下列两个条件：（1）pfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gif{1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈p，则6-a∈p，则集合p个数是__________。（三）        解答题16、设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，求a取值范围。17、已知抛物线C：y=-x2+mx-1，点M（0，3），N（3，0），求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。18、设A={x|x2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。
19、已知file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image046.gif，b=2-x，c=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。