 第一章 数和数的运算 一 概念 （一）整数 1、 整数的意义 自然数和 0 都是整数。 2 、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用 0 表示。0 也是自然数。 3、计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿…… 都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数法叫 做十进制计数法。 4 、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除整数 a 除以整数 b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，或者说 b 能整除 a 。 例如 15÷3=5， 所以 15 能被 3 整除，3 能整除 15。 如果数 a 能被数 b（b ≠ 0）整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的因数。倍数和约数是相互依存的。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大 的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身， 没有最大的倍数。 个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除，例如：202、 480、304，都能被 2 整除。。 个位上是 0 或 5 的数，都能被 5 整除，例如：5、30、405 都能被 5 整除。。 一个数的各位上的数的和能被 3 整除，这个数就能被 3 整 除，例如：12、108、204 都能被 3 整除。 能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2整除的数叫做奇数。0 也是偶数。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶 数。 一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质 数，100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、79、 83、89、97。 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫 做合数，例如 4、6、8、9、12 都是合数。 1 不是质数也不是合数，自然数除了 1 外，不是质数就是合 数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和 1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数 都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如 15=3 ×5，3 和 5 叫做 15 的质因数。 1 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因 数。例如把 28 分解质因数28=2×2×7 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的 一个， 叫做这几个数的最大公因数，例如 12 的约数有 1、2、 3、4、6、12；18 的约数有 1、2、3、6、9、18。其中，1、 2、3、6 是 12 和 1 8 的公因数，6 是它们的最大公因数。 公约数只有 1 的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个 数，有下列几种情况： 1 和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。 两个不同 的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 两个合数的公约数只有 1 时，这两个合数互质，如果几个 数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的 最大公因数。 如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是 1。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个， 叫做这几个数的最小公倍数， 2 的倍数有 2、 6 、如 4、 8、10、12、 …… 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 …… 其中 6、12、18…… 是 2、3 的公倍数，6 是它们的最小公倍数。。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的 最小公倍数。 如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小 公倍数。 几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个 数是无限的。 （二）小数 1 、小数的意义 把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份…… 得到的十 分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。 一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小 数表示千分之几…… 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。小数 部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位 “一”之间的进率也是 10。 2、小数的分类 循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 …… 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 ……的循环节是 “ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。 （三）分数 1 、分数的意义把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的 数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 2 、分数的分类 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1。 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于 1。 带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。 （四）百分数 1 、表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数, 也叫做百分率 或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分 号是表示百分数的符号。 二 方法 （一）数的读法和写法 1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、 万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿” 或“万”字。每一级末尾的 0 都不读出来，其它数位连续 有几个 0 都只读一个零。 2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数 位上一个单位也没有，就在那个数位上写 0。 3. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法 来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。 6. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按 照整数的写法来写。 7. 百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号 前面的数，读数时按照整数的读法来读。 8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来 的分子后面加上百分号“%”来表示。 2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数， 省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。例如：1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者比 4 小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是 5 或者比 5 大，就把尾数舍去，并向它的前一位进 1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后 面的尾数约是 47 亿。 （三）数的互化 1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在 1 的后面写几个 零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限 小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。 3. 一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含 有 2 和 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在 后面添上百分号。 5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去 掉，同时把小数点向左移动两位。 6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时， 通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。 7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 （二）数的改写 一个较大的多位数， 为了读写方便， 常常把它改写成用 “万” 或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数 某一位后面的数，写成近似数。 1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数 的准确数。例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 （四）数的整除 1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这 个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。 2. 求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公约 数连续去除，一直除到所得的商只有公因数 1 为止，然后 把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。 3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质） 为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。 4. 成为互质关系的两个数：1 和任何自然数互质 ； 相邻 的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合 数和这个质数互质；两个合数的公约数只有 1 时，这两个 合数互质。 （五） 约分和通分 约分的方法：用分子和分母的公约数（1 除外）去除分子、 分母；通常要除到得出最简分数为止。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数， 然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 三 性质和规律 （一）商不变的规律 商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同 时缩小相同的倍，商不变。 （二）小数的性质 小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 （三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 1. 小数点向右移动一位，原来的数就扩大 10 倍；小数点 向右移动两位，原来的数就扩大 100 倍；…… 2. 小数点向左移动一位，原来的数就缩小 10 倍；小数点 向左移动两位，原来的数就缩小100 倍；…… 3. 小数点向左移或者向右移位数不够时， “0"补足位。 要用 （四）分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同 的数（零除外），分数的大小不变。 （五）分数与除法的关系 1. 被除数÷除数= 被除数/除数 2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 3. 被除数相当于分子，除数相当于分母。 （二）小数四则运算 1. 小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并 成一个数的运算。 2. 小数减法： 小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 3. 小数乘法： 小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数 的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。 4. 小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因 数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 四 运算的意义 （一）整数四则运算 1 整数加法： 把两个数合并成一个数的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是 部分数，和是总数。加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数 2 整数减法： 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分 数。 3 整数乘法： 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相 同加数的和叫做积。在乘法里， 和任何数相乘都得 0. 1 和任何数相乘都的 0 任何数。 一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数 4 整数除法： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。 在除法里，0 不能做除数。因为 0 和任何数相乘都得 0，所 以任何一个数除以 0，均得不到一个确定的商。 （三）分数四则运算 1. 分数加法： 分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并 成一个数的运算。 2. 分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的 和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3. 分数乘法： 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 4. 乘积是 1 的两个数叫做互为倒数。 5. 分数除法： 分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （四）运算定律 1. 加法交换律： 两个数相加， 交换加数的位置， 它们的和不变， a+b=b+a 。 即 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者 先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交换律：两个数相乘， 交换因数的位置它们的积不变， a×b=b×a。 即 4. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者 先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。 5. 乘法分配律： 两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 6. 减法的性质： 从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即 a-b-c=a-(b+c) 。 （五）运算法则 1. 回顾整数加法、减法、乘法的计算法则： 2. 整数除法计算法则： 先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商 1，要补“0” 占位。每次除得的余数要小于除数。 3. 小数乘法法则： 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数 不够，就用“0”补足。 4. 除数是整数的小数除法计算法则： 先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后 面添“0”，再继续除。 5. 除数是小数的除法计算法则： 先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数 的除法法则进行计算。 6. 异分母分数加减法计算方法: 先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算 7. 带分数加减法的计算方法: 整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 10. 分数乘法的计算法则: 分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分 母 11、分数除法的计算法则: 甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。 （三）面积单位的换算* 1 平方分米=100 平方厘米 * 1 平方米 ＝100 平方分米 * 1 公倾 ＝10000 平方米 * 1 平方千米 ＝100 公顷 三体积和容积 （一）什么是体积、容积 体积，就是物体所占空间的大小。 容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 （二）常用单位 1 体积单位 * 立方米 * 立方分米 * 立方厘米 2 容积单位 * 升 * 毫升（三）单位换算 1 体积单位 * 1 立方米=1000 立方分米 * 1 立方分米=1000 立方厘米 2 容积单位 * 1 升 =1000 毫升 * 1 升 =1 立方米 * 1 毫升=1 立方厘米 四 质量 * 1 吨=1000 千克 * 1 千克 = 1000 克 五 时间 * 1 世纪=100 年 * 1 年=365 天 平年 * 一年=366 天 闰年 * 1 天= 24 小时 * 1 小时=60 分 * 1 分=60 秒 （六） 运算顺序 1. 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两 级运算先算乘、除法，后算加减法。 2. 有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里 面的，最后算括号外面的。 第二章 度量衡 一 长度单位之间的换算 * 1 厘米 ＝10 毫米 * 1 分米 ＝10 厘米 * 1 米 ＝ 1000 毫米 * 1 千米 ＝ 1000 米 二 面积 （一）什么是面积 面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多 少的测量一般称表面积。 （二）常用的面积单位 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米 4 第三章 代数初步知识 一、用字母表示数 1 用字母表示数的意义和作用 * 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时 也可以表示运算的结果。 2 用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体 的计算公式 （1）常见的数量关系 路程用 s 表示，速度 v 用表示，时间用 t 表示，三者之间 的关系： s=vt v=s/t t=s/v 总价用 a 表示，单价用 b 表示，数量用 c 表示，三者之间 的关系: a=bc b=a/c c=a/b （2）运算定律和性质 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab)c=a(bc)乘法分配律：（a+b)c=ac+bc 减法的性质：a-(b+c) =a-b-c （3）用字母表示几何形体的公式长方形的长用 a 表示，宽用 b 表示，周长用 c 表示，面积 用 s 表示。 c=2(a+b) s=ab 正方形的边长 a 用表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示。 c= 4a s=a? 平行四边形的底 a 用表示，高用 h 表示，面积用s 表示。 s=ah 三角形的底用 a 表示，高用 h 表示，面积用 s 表示。 s=ah/2 梯形的上底用 a 表示，下底 b 用表示，高用 h 表示，面积 用 s 表示。 s=(a+b)h/2 圆的半径用 r 表示，直径用 d 表示，周长用 c 表示，面积 用 s 表示。c=∏d=2∏rs=∏ r? 扇形的半径用 r 表示， 表示圆心角的度数， n 面积用 s 表示。 s=∏ nr?/360 长方体的长用 a 表示，宽用 b 表示，高用 h 表示，表面积 用 s 表示，体积用 v 表示。 v=sh s=2(ab+ah+bh) v=abh 正方体的棱长用 a 表示，底面周长 c 用表示，底面积用 s 表示， 体积用 v 表示. s= 6a ?v=a? 圆柱的高用 h 表示，底面周长用 c 表示，底面积用 s 表示， 体积用 v 表示. s 侧=ch s 表=s 侧+2s底 v=sh 圆锥的高用 h 表示，底面积用 s 表示， 体积用 v 表示. v=sh/3 3 用字母表示数的写法 数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或 者省略不写，数字要写在字母的前面。当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。 4 、将数值代入式子求值 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再 把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。 二、简易方程 （一）方程和方程的解 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和 已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值 时，方程才成立 。 2 、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做 方程的解。 三、解方程，求方程的解的过程叫做解方程。 四、列方程解应用题 先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应 用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代 数式进而列出方程。 五 比和比例 1 比的意义和性质 （1） 比的意义 两个数相除又叫做两个数的比。“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项， 比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项 相当于分母，比值相当于分数值。 （2）比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0 除外），比 值不变，这叫做比的基本性质。 （3） 求比值和化简比 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数 值可以是整数，也可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结 果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 （4）比例尺 图上距离：实际距离=比例尺 要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。 （5）按比例分配 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 2 比例的意义和性质 （1） 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫 做比例的项。两端的两项叫做外项， 中间的两项叫做内项。 （2）比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 （3）解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知 项，叫做解比例。 3 正比例和反比例 （1） 成正比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如 果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关 系。用字母表示 y/x=k(一定） （2）成反比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做 成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示 x×y=k(一定) 第四章 几何的初步知识 一 线和角 （1）线 * 直线 直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 * 射线 射线只有一个端点；长度无限。 * 线段 线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。 * 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。 * 垂线 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 （2）角 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点 叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类锐角：小于 90°的角叫做锐角。 钝角：大于 90°而小于 180°的角叫做钝角。 1 个周角=2 个平角=4 个直角。 二 、平面图形 1、长方形 （1）特征 对边相等，4 个角都是直角的四边形。有两条 对称轴。 （2）计算公式 c=2(a+b) s=ab 2、正方形 （1）特征： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有 4 条对称轴。 （2）计算公式 c= 4a s=a? 3、三角形 （1）特征 由三条线段围成的图形。内角和是 180 度。三角形具有稳 定性。三角形有三条高。 （2）计算公式 s=ah/2 6 （3）分类 按角分 锐角三角形 ：三个角都是锐角。 直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为 45 度，它有一条对称轴。钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是 60 度；有 三条对称轴。4 平行四边形 （1）特征 两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为 180 度。平行四边形容 易变形。 （2） 计算公式 s=ah 5 梯形 （1）特征 只有一组对边平行的四边形。等腰梯形有一条对称轴。 （2）公式 s=(a+b)h/2 6 圆（1）圆的认识 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即 d=2r。 圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。 （2）圆的画法 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上； （3）圆的周长 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。 （4） 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 （5）计算公式 d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r s=∏r? 7、 圆环 (1) 特征由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。 (2) 计算公式 s=∏(R?-r?） 9、轴对称图形 (1) 特征如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重 合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 正方形有 4 条对称轴， 长方形有 2 条对称轴。 等腰三角形有 2 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴。 等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。三 立体图形 （一）长方体 1 、特征六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。 相对的面面积相等，12 条棱相对的 4 条棱长度相等。有 8 个顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。长方体或者正方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。 2、计算公式 s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh （二）正方体 S 表= 6a ? v=a? （三）圆柱 1 圆柱的认识 圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做高。 进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些， 因此，要保留数的时候，省略的位上的是 4 或者比 4 小， 都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。 2 计算公式 s 侧=ch s 表=s 侧+s底×2 v=sh/3 用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总 数的百分数。优点：很清楚地表示出各部分同总数之间 的关系。 （四）圆锥 1 圆锥的认识 圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 2 计算公式 v= sh/3 第五章 简单的统计 一 统计表 二 统计图 （一）意义 * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形 叫做统计图。 （二）分类 1 条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按一定的顺序排列起来。 优点：很容易看出各种数量的多少。 五 应用 1、 解答加法应用题： a 求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙 两数的和是多少。 b 求比一个数多几的数应用题： 已知甲数是多少和乙数比甲 数多多少，求乙数是多少。 2、 解答减法应用题： a 求剩余的应用题： 从已知数中去掉一部分， 求剩下的部分。 -b 求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。 c 求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，，乙数 比甲数少多少，求乙数是多少。 3、 解答乘法应用题： a 求相同加数和的应用题： 已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。 b 求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。 4、解答除法应用题： a 把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。 b 求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每 份是多少，求可以分成几份。 C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数 各是多少，求较大数是较小数的几倍。 d 已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。 5、常见的数量关系： 总价= 单价×数量 路程= 速度×时间 工作总量=工作时间×工作效率 总产量=单产量×数量 6、典型应用题具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题， 通常叫做典型应用题。 （1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份 数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的 个数=算术平均数。 2 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。 优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 （2） 归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这 种问题称之为归一问题。这种类型的题目也可以采用正 比例的知识来解决。 3 扇形统计图 （3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数， 以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。 特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。 例修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。 实际 4 天修完，每天修了多少米？分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长 度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是 “归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 800 × 6 ÷ 4=1200 （米） （4）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路 程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、速度和、速度差等概念， 了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。解题关键及规律： 同时同地相背而行：路程=速度和×时间。 同时相向而行：相遇时间=速度和×时间 （5）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫 做植树问题。解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭 图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。 解题规律：沿线段植树 棵树=段数+1棵树=总路程÷株距+1株距=总路程÷（棵树-1） 总路程=株距×（棵树-1）沿周长植树 棵树=总路程÷株距 株距=总路程÷棵树 总路程=株距×棵树 例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了 201 根。求改装后每相 邻两根的间距。 分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米） （6）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡” 和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题” 又称鸡兔同笼问题 解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。 问鸡兔各有多少只？ 兔子只数 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只） 鸡的只数 50-35=15 （只） （二）分数和百分数的应用 1、分数乘法应用题： 是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际 数量。解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应 的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。 3 、分数除法应用题： 求一个数是另一个数的几分之几或百分之几是多少。特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几 分之几或百分之几。“一个数”是比较量，“另一个数” 是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。 解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把 谁看作了“单位一”，谁和单位一的量作比较，谁就作被 除数。甲是乙的几分之几 （百分之几） :甲是比较量， 乙是单位 “1” ， 用甲除以乙。甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：相差数÷单位 “1” 已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数。 特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1” 的量。 解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成 x 根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列 算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量。 4 出勤率发芽率=发芽种子数/试验种子数×100% 小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100% 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100% 5 工程问题： 它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。 解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作 时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。 数量关系式：工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 工作总量÷工作效率和=合作时间 6 纳税 缴纳的税款叫应纳税款。 应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得 额 ……）的比率叫做税率。 * 利息 存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息与本金的比值叫做利率。利息=本金×利率×时间
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发表于 2020-4-28 15:18:13
