考编数学-导数与微分-求函数的极值

简迷离

第二节 导数与微分

三、导数应用

三、求函数的极值

设函数 y＝f(x)在 x0 及其附近有定义，如果对附近所有的点都有 f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0))，则 称 f(x0)是函数 y＝f(x)的极大值(极小值)。可导函数的极值可根据研究函数的单调性求得，基本步骤是：

(1)确定函数的定义域。

(2)求导数 f′(x)。

(3)求方程 f′(x)＝0 的所有实根，顺次将定义域划分成若干小区间并列表，根据函数在定义区间内增减性变化(导函数与零的关系)来判断极值。

①f′(x)<0，f′(x)>0&#8658;f(a)是 y＝f(x)的极小值。

②f′(x)>0，f′(x)<0&#8658;f(a)是 y＝f(x)的极大值。

典型例题：

四、求函数的最大值与最小值

(1)如果区间内只有一个极(大/小)值，则这个极值就是最(大/小)值。

(2)闭区间上，所有极值与端点函数值比较，得到的是最值。

典型例题：

五、微分(一)微分定义

设函数 y＝f(x)，如果增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)可以表示为 Δy＝AΔx＋o(Δx)，那么称函数y＝f(x)在点 x0是可微的，而 AΔx 叫作函数 y＝f(x)在点 x0 相应于自变量 Δx 的微分，记作 dy， dy＝AΔx＝f′(x0)dx。

微分记法：dy|x＝x0＝df(x0)。

微分与导数关系：dy＝df(x)＝y′dx＝f′(x)dx。

答案：